冲刺中考| 数学

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1 ，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a，x₁,x₂=(-b±√b2-4ac)/2a

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x= -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴。（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac =0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）。

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1、二次函数y= ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y= ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下：

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y= ax2向右平行移动h个位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。

2、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)。

3、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。

4、抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2|；

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

5、抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

6、用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。